Wenn der Break Even Point \(\mathrm{x_{BEP}}\) erreicht ist, gilt:

• Der Umsatz (Erlös) deckt alle Kosten, d. h. \(\mathrm{U(x) = K(x)}\)!
• Der Deckungsbeitrag deckt die fixen Kosten, d. h. \(\mathrm{DB(x) = K_{fix}}\)!
• Der Gewinn ist im Break Even Point genau Null, d. h. \(\mathrm{G(x) = U(x) – K(x) = 0}\)!
• Für alle \(\mathrm{x < x_{BEP}}\) entsteht Verlust, für alle \(\mathrm{x > x_{BEP}}\) entsteht Gewinn!

Erklärung der Methode zur Berechnung eines Break-Even-Punktes anhand eines Beispiels

Eventmanagerin Bea plant ein Konzert. Dafür stehen zwei Veranstaltungsräume zur Auswahl, die gemietet werden können. Über die Räumlichkeiten liegen die Informationen aus der untenstehenden Tabelle vor.

Die Gage für die Band beträgt \(8.000\ € \) am Konzertabend. Für die Organisation bekommt die Eventmanagerin \(3\ €\) / Person vergütet und die Kartenverkaufsstellen verlangen darüber hinaus \(10\%\) Provision. 

Aufgrund des unterschiedlichen Komforts der beiden Veranstaltungsräume werden zwei verschiedene Eintrittspreise geplant, wie in der untenstehenden Tabelle aufgeführt.

Bea erstellt für Saal I folgende Kostenfunktion in Abhängigkeit von der Personenzahl \(\mathrm{x}\):
\(\mathrm{K_I(x) = 5.860 + 8.000 + (3+5)x = 13.860 + 8x}\).

Dabei stellen die \(13.860\ €\) fixe Kosten \(\mathrm({K_{fix}})\) dar, die unabhängig von der Personenzahl anfallen, und die \(8\ €\) sind die variablen Kosten \(\mathrm({k_{var}})\), die nur für jede verkaufte Karte (pro Person) berechnet werden. Allgemein: \(\mathrm{K(x) = K_{fix}+ k_{var} \cdot x}\).

Sie stellt dieser Kostenfunktion folgende Erlösfunktion gegenüber: \(\mathrm{E_I(x) = 50 x}\).

Dabei stellen die \(50\ €\) den Preis pro verkaufte Karte dar, den jede Person zahlt, die das Konzert besuchen möchte. Allgemein: \(\mathrm{E(x)=p\cdot x}\).

Sie überlegt, dass die Gewinnschwelle (= Break Even Point) dann erreicht ist, wenn die Erlöse die Kosten decken, d. h. genau dann, wenn
\(\mathrm{E(x) = K(x)\qquad\leftrightarrow\qquad p \cdot x = K_{fix} + k_{var} \cdot x \qquad\leftrightarrow\qquad x = \frac{K_{fix}}{p-k_{var}}}\).

Das heißt für Saal I konkret, dass die Gewinnschwelle bei \(\mathrm{E_I(x) = K_I(x)}\) erreicht ist und damit bei
\(\mathrm{50x = 13.860 + 8x \qquad\leftrightarrow\qquad x = \frac{13.860}{50-8} \qquad\leftrightarrow\qquad x = 330}\)
Personen liegt. Hier wird weder ein Gewinn noch ein Verlust erzielt. Ab 331 Personen wird ein Gewinn erzielt.

Der Gewinn, der bei ausverkauftem Saal I mit \(400 \) Personen erzielt werden könnte, liegt bei
\(\mathrm{G_I (400) = E_I(400) - K_I(400) = 50 \cdot 400 - (13.860 + 8 \cdot 400) = 2.940}\) in €.
 

Allgemein: \(\mathrm{G(x) = E(x) - K(x)}\).

Es besteht aber das Risiko, dass vielleicht doch weniger Personen zu dem Konzert kommen. Bei nur \(200\) Personen z. B. ergibt sich ein Verlust (= negativer Gewinn) von \(\mathrm{G_I (200) = 50 \cdot 200 - (13.860 + 8 \cdot 200) = -5.460}\) in €.

Rechnen Sie nun selbst! Als Alternative zu Saal I bietet sich Saal II an. 

In der vorherigen Aufgabe haben Sie die Gewinnschwelle für beide Säle berechnet. Für welchen Saal sollte sich Eventmanagerin Bea entscheiden, wenn sie möglichst zuverlässig einen möglichst hohen Gewinn erzielen möchte?