Grundausbildung – Formale Beweise
Grafik: Jörg Zintl
Eine in der Mathematik häufig verwendete Technik, um eine aufgestellte Hypothese zu bestätigen, ist der ‚Beweis durch Widerspruch‘.
Es bedeutet, dass man sich überlegt, welche logischen Konsequenzen es hätte, wenn eine bestimmte Aussage nicht zuträfe. Findet man dabei heraus, dass die Folgen der gegenteiligen Aussage unsinnig sind, dann kann die gegenteilige Aussage nicht richtig gewesen sein. Damit muss die ursprüngliche Aussage die Wahrheit sein.
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Aufgabe 1 von 1
Wir wollen die folgende Aussage beweisen:
\(\sqrt2\) ist keine rationale Zahl.
Nehmen wir zuerst an, dass das Gegenteil wahr wäre. Die Zahl \(\sqrt2 \)
\(\sqrt2= \frac{a}{b}\)
mit ganzen Zahlen \(a\) und \(b\), wobei \(b\) nicht die Null ist.
Vorüberlegung:
Die Darstellung eines Bruches durch Zähler \(a\) und Nenner \(b\) ist nie eindeutig, weil man ja immer ‚Erweitern‘ und ‚Kürzen‘ kann.
Wir können aber die Zahlen \(a\) und \(b\) so wählen, dass höchstens eine von beiden eine gerade Zahl ist. Sind nämlich beide gerade, dann können wir den Bruch mit 2 kürzen, und zwar so lange, bis entweder der Zähler oder der Nenner nicht mehr durch 2 teilbar ist, d.h. am Ende ist entweder \(a\) oder \(b\) ungerade.
Annahme: \(\sqrt2= \frac{a}{b}\), wobei \(a\) und \(b\) nicht beide gerade Zahlen sind.
Ziehen Sie dazu die vorgegebenen Sätze in eine solche Reihenfolge, so dass jede Zeile eine unmittelbare logische Folgerung der jeweils darüber stehenden Zeile ist.
Dieses Beispiel zeigt sehr schön die mathematische Methodik. Ausgehend von einer Annahme konstruiert man durch lückenlose schrittweise Schlussfolgerungen eine Kette von Folgerungen. Gelangt man auf diesem Weg zu einer unsinnigen Aussage (einem Widerspruch), dann muss die Ausgangsannahme falsch gewesen sein. Nach den Regeln der Logik ist damit aber zwangsweise das Gegenteil dieser Annahme richtig (und damit logisch exakt bewiesen).